Вся моя жизнь неразрывно связана с математикой. В голове постоянно рождаются мысли: «Почему именно так и какое этому объяснение?». Мне нравится находить разные способы решения интересных задач.
Так в школьные годы после темы про квадратные уравнения у меня сразу появился ряд вопросов: есть ли альтернативные варианты и как будет выглядеть решение для уравнения высших степеней?
На первый вопрос достаточно быстро был получен утвердительный ответ — да, может.
Разность корней квадратного уравнения можно выразить с помощью теоремы Виета, выполнив несложные преобразования.
По тереме Виета имеем
Тогда
В итоге получаем систему уравнений
Красиво, правда?
Кстати, а вы знали, что корни многочленов -ой степени образуют поле? 😉
Дальнейшее углубление в теорию решений уравнений высших степеней открывало бесконечно много новых знаний в тех областях, о которых я даже и не подозревал.
В результате ряда рассуждений стало понятно, что существуют некоторые преобразования над набором корней уравнений, которые могут давать интересные результаты, и с их помощью можно быстро и эффективно решать уравнения для степени меньше 5.
Я узнал о теории Галуа, теореме Абеля-Руффини, и т.д.
Информацию пришлось переваривать в течение нескольких лет.
В студенческие годы на одной из скучных лекций я упражнялся с суммой различных степеней натурального ряда (до определенного значения ) и заметил одну закономерность, что слагаемое с максимальной степенью всегда выражается как .
Сразу возник вопрос: «Можно ли как-то использовать интеграл?».
Ответ не заставил себя долго ждать, и к концу пары было готово решение для любого .
Я захотел получить аналогичную формулу и для отрицательных , но все попытки заканчивались неудачей. Так состоялось моё первое знакомство с дзета-функцией.
Недавно мне на глаза попалась публикация о нетривиальных нулях дзета-функции Римана.
Так как доказательство гипотезы Римана является нерешенной проблемой тысячелетия, многие пытаются к ней подступиться, и периодически в разных источниках появляется информация о ее доказательстве либо опровержении. Но до сих пор ни одно из доказательств не было принято официальным математическим сообществом.
Тогда я решил разобраться и попытаться найти возможные пути решения гипотезы Римана.
Так как ранее у меня уже был опыт работы с бесконечными суммами, по наивности я решил, что это не должно быть очень сложно 😉
Что же с этой проблемой не так, если ее не могут решить на протяжении тысячелетия?
Обложившись справочным материалом, я начал вникать в проблему и изучать подходы, используемые при доказательстве. Большинство доказательств строилось на применении интегралов или специфических функций (например, функция Тодда).
На глаза попадались как совсем откровенные ляпы, так и очень сложные работы на несколько десятков страниц, погружение в которые могло занять не меньше месяца вдумчивого чтения.
Объём информации рос, а понимание, как подойти к проблеме или предположить, какой метод можно применить, чтобы приблизиться к решению, не приходило.
И тогда я решил отложить чтение профильной литературы.
Как-то часа в 3 ночи (после вечернего кофе) мне в голову пришла одна на мой взгляд очень простая и интересная последовательность действий, которая ведет к доказательству, ей я и хочу с вами поделиться.
Внесу пару уточняющих моментов:
- Некоторые промежуточные расчеты и выводы я намеренно опускаю, чтобы не перегружать читателя
- По этой же причине я намеренно опускаю ряд специфических понятий
- Читатель должен быть знаком с матанализом и комплексными числами
- Все мои рассуждения могут оказаться неверными
Итак, поехали…
Сначала определимся, что нужно доказать и что для этого у нас дано.
Необходимо доказать, что все комплексные нули дзета-функции должны иметь вид: .
Определим, что такое дзета-функция.
Начнём наш путь с Эйлера, так как он впервые определил дзета-функцию для действительных чисел
(далее по тексту — функция)
Или просто
Из профильной литературы известно, что для всех выше обозначенных функция сходится абсолютно.
Также Эйлером была введена знакочередующаяся эта — функция.
(далее по тексту — функция)
Бернхард Риман определил — функцию для комплексного переменного.
Чтобы продолжить функцию на комплексную плоскость для любого , , проделаем пару фокусов с функцией Эйлера, разбив ее на сумму по чётным и нечётным .
Тогда — функция будет выражаться, как сумма нечётных и чётных
А — функция будет выражаться, как разница нечётных и чётных
Вычтем из — функции — функцию, тогда получим
Также отмечу, что есть особые точки — нули уравнения , которые устранимы.
Выразим — функцию через — функцию
Это связь нам пригодится в дальнейшем.
Из профильной литературы известно, что в нулях — функции — функция также обращается в нуль.
Из формулы Эйлера — Маклорена, следует, что при
(далее по тексту равенства с будут рассматриваться, как предел при )
Или
Выразим — функцию через чётные и
Или
Выразим — функцию через нечётные и
Или
Или
Заметим, что
Тогда, используя (4), запишем
Тогда в нулях
(далее по тексту это выражение будет часто употребляться, в нулях означает, что — нуль — функции)
И
Используя (5) (6), заметим, что в нулях
Используя (7), заметим, что
Тогда, используя (8), в нулях можно записать равенство
Из профильной литературы известно, что
Где — гамма-функция Эйлера.
Или, используя (1)
Тогда
Используя (9), запишем равенство в нулях
Тогда в нулях должно также выполняться равенство
Упростим выражение и запишем его в следующем виде
Положим и запишем модули каждого из сомножителей
Тогда перепишем (11) в следующем виде
Или
Заметим, что (12) представляет собой периодическую функцию, верхняя и нижняя границы которой будут равны
Для того, чтобы выражение (12) для было равно 1, нужно, чтобы верхняя и нижняя граница для были равны 1.
Из профильной литературы известно, что любой нетривиальный нуль — функции имеет действительную часть .
Тогда запишем варианты пределов для верхней и нижней границ при ,
Как видно, нам подходит только вариант и только в этом случае возможно соблюдение равенства (11) в нулях.
Следовательно, все комплексные нули — функции имеют вид: .
Что и требовалось доказать.
Специально для сайта ITWORLD.UZ. Новость взята с сайта Хабр