1. Начнем с главного — что такое “момент” в вероятности и статистике?
Скажем, нас интересует случайная переменная X.
Моменты — это ожидаемые значения X, например, E(X), E(X²), E(X³) и т.д.
Первый момент — E(X), Второй момент — E(X²), Третий момент — E(X³), … n-й момент — E(X^n).
Нам очень хорошо знакомы первые два момента: математическое ожидание μ = E(X) и дисперсия E(X²) − μ². Это важные характеристики X.Математическое ожидание — это среднее значение случайной величины, дисперсия — мера разброса значений. Но должны быть и другие функции, также определяющие распределение. Например, третий момент указывает на асимметрию, четвертый — насколько тяжелы хвосты распределения.
2. Что же такое производящая функция моментов?
Эта функция определяет распределение значений случайной величины— E(X), E(X²), E(X³), … , E(X^n).
Глядя на определение, вы можете сказать:
Возьмите производную от ПФМ n раз и подставьте t = 0. Так вы получите E(X^n).
3. Почему n-й момент является n-й производной ПФМ?
Для доказательства используем ряды Тейлора:
Затем берем ожидаемое значение:
Теперь берем производную по t:
Если возьмем другую производную (то есть производную дважды), получим E(X²).
Снова возьмем производную (третью), получим E(X³), и так далее.
Когда я впервые увидела ПФМ, я не поняла роль t в функции, потому что t показалась произвольной переменной, которая не особенно меня интересовала. Между тем t является вспомогательной переменной — мы вводим t, чтобы использовать исчисление (производные) и обнулить значения (которые нас не интересуют).
4. Так зачем нам нужна ПФМ?
Для удобства.
Производящая функция моментов упрощает вычисление моментов.
Как?
В моем учебнике математики написано: “найдите производящую функцию момента биномиального (n, p), пуассонового (λ), экспоненциального (λ), нормального (0, 1) распределений и так далее”. Однако в нем никогда не объяснялось, почему ПФМ полезна и удобна.
Я думаю, пример ниже порадует вас — самый яркий пример, где есть простое использование ПФМ: ПФМ экспоненциального распределения. (Не знакомы с экспоненциальным распределением? 👉 Экспоненциальное распределение: восприятие, происхождение, применение)
Начнем с плотности вероятности:
Продифференцируем экспоненциальную ПФМ:
Чтобы ПФМ существовала, должно существовать ожидаемое значение E(e^tx).
Вот почему t — λ < 0
— важное условие: в противном случае интеграл не будет сходиться (это называется тестом на сходимость и проверяется первым делом, когда нужно определить, сходится интеграл или расходится).
Раз у нас есть ПФМ: λ/(λ-t), вычисление моментов становится просто вопросом взятия производных, что проще, чем использование интегралов для расчета ожидаемого значения напрямую.
Несколько замечаний:
- Для любой действительной ПФМ M(0) = 1.
Всякий раз при вычислении ПФМ подставляйте t = 0 и смотрите, получите ли 1. - Моменты помогают подробнее описать распределение. Например, можно полностью описать нормальное распределение по первым двум моментам — математическому ожиданию и дисперсии. Чем больше моментов вы знаете, тем больше вы знаете о распределении. Если вы никогда не встречали человека, но знаете его рост, вес, цвет кожи, хобби и т.д., вы по-прежнему не знаете его полностью, но у вас есть много информации о нем.
- Прелесть ПФМ в том, что, получив ПФМ (когда ожидаемое значение существует), вы можете получить любой n-й момент, так как ПФМ кодирует все моменты случайной переменной в одну функцию, из которой их легко снова извлечь.
- Распределение вероятностей однозначно определяется его ПФМ. Если у двух случайных переменных одинаковая ПФМ, они должны иметь одинаковое распределение.
- Одно из важнейших свойств распределения — насколько тяжелы его хвосты, особенно, в управлении финансовыми рисками. Если вспомнить финансовый кризис 2008 года, в основе которого по сути лежали неудачные определения вероятностей редких событий, управляющие рисками недооценили эксцесс (“выпуклость”) финансового обеспечения, лежащего в основе торговых позиций фонда. Иногда выглядящие случайными распределения с гипотетически гладкими кривыми риска могут содержать скрытые эксцессы. И мы можем найти их, используя ПФМ!
Специально для сайта ITWORLD.UZ. Новость взята с сайта NOP::Nuances of programming