Сумма экспоненциальных случайных величин

Пусть X1 и X2 — независимые, экспоненциальные и случайные величины со средним значением λ. Пусть Y=X1+X2. Тильда (~) означает “имеет распределение вероятностей”, например, X1~EXP(λ). Итак:

X1~EXP(λ)
X2~EXP(λ)
Y=(X1+X2)

Вопрос: Какова плотность вероятности Y?
Где можно использовать распределение Y?

Поиск плотности вероятности.

👉 Находим функцию кумулятивного распределения и дифференцируем её. Мы уже использовали этот метод много раз. Затем найдем функцию распределения (X1 + X2):

Но мы не знаем плотности вероятности (X1+X2). На самом деле именно ее мы и хотим вычислить. Хм… может…

∫ PDF(X1+ X2) = ∫ PDF(X1) + ∫ PDF(X2) ???!?!?

Нет, конечно. Если сделать так, плотность вероятности (X1+X2) будет равна 2. Но интеграл плотности вероятности всегда должен быть равен 1. Как теперь найти функцию распределения, не зная плотности вероятности?

Расчет вероятности

Существуют два основных метода. Первый — маргинализация X1 (чтобы мы смогли интегрировать его по 𝒙1). Во втором используется определение независимости: P(𝐗1+𝐗2 ≤ 𝒙|𝐗1) = P(𝐗1+𝐗2 ≤ 𝒙). Эти методы упрощают дифференцирование и помогают получить результат для 𝒙.

В чем отличие 𝐗 от 𝒙?

Это математические соглашения. 𝐗 — стохастическое, а 𝒙 — детерминированное. Допустим, 𝐗 —число, которое мы получили, бросив кубик. То есть 𝐗 может быть любым числом из множества {1,2,3,4,5,6}. Но как только кубик брошен, значение 𝐗 определено. 𝐗 = 𝒙 означает, что случайная величина 𝐗 принимает конкретное значение 𝒙. Итак:

𝐗 — случайная величина, обозначаемая заглавной буквой.
𝒙 — определенное (фиксированное) значение, которое может принимать случайная величина. Например, 𝒙1, 𝒙2, …, 𝒙n может быть выборкой, соответствующей случайной величине X.

Следовательно, совокупная вероятность P(𝐗 ≤ 𝒙) означает, что диапазон функции 𝐗 меньше определенного значения 𝒙. При этом 𝒙 может быть любым скаляром, например, 𝐗 ≤ 1, 𝐗 ≤ 2.5, 𝐗 ≤ 888 и т.д.

Плотность вероятности через функцию распределения

Найдём производную функции распределения, чтобы найти плотность вероятности. Это распределение Эрланга:

Применение

В распределении Пуассона со средним значением λ X1+X2 будет отображать время, когда произойдет второе событие. В нашем примере с 👏 лайками, если вы получаете лайки со средним значением λ в единицу времени, то время до первого читателя, поставившего лайк, распределяется по экспоненте со средним значением λ. Если вы будете ждать лайков множество единиц времени, то увидите 0, 1, 2, … читателей.

Как долго нужно ждать, чтобы увидеть n читателей, поставивших лайк? Для ответа на этот вопрос используется распределение Эрланга.

Ответом будет сумма независимых экспоненциально распределенных случайных величин, то есть распределение Эрланга (n, λ). Распределение Эрланга — частный случай гамма-распределения. Разница между ними в том, что в гамма-распределении n может быть дробным числом.

Упражнения 🔥

Какое распределение эквивалентно распределению Эрланга (1, λ)?

Это просто. Экспоненциальное.

Теория массового обслуживания. Вы идете в закусочную и встаете в очередь, перед вами два человека. Одного обслуживают, другой ждет. Интервалы времени их обслуживания S1 и S2 являются независимыми, экспоненциальными и случайными величинами со средним значением 2 минуты.

Это означает, что среднее значение скорости обслуживания 0,5 в минуту. О связи времени с количеством событий можно подробнее прочитать здесь. Итак, условное время в очереди T = S1 + S2. С учётом состояния системы N = 2. T подчиняется распределению Эрланга.

Какова вероятность того, что вы простоите в очереди более 5 минут?

Давайте подставим λ = 0.5 в функцию распределения, которую мы уже вывели: